اجتماع (نظریه مجموعه‌ها)

در نظریه مجموعه‌ها، اجتماع (به انگلیسی: union) که با نماد ∪ نشان‌داده می‌شود، برای یک گردآورد از مجموعه‌ها برابر مجموعه همه عناصر در آن گردآورد است. این عمل یکی از عملیات بنیادین است که از طریق آن می‌توان مجموعه‌ها را ترکیب کرد و با هم مرتبط نمود. یک اجتماع پوچ به اجتماع مجموعه‌های صفر ($0$) اشاره دارد و طبق تعریف برابر مجموعه تهی است.

اجتماع دو مجموعه:
$~A\cup B$

اجتماع سه مجموعه:
$~A\cup B\cup C$

اجتماع A، B، C، D، و E برابر همه چیز بجز مساحت سفید است.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد (یعنی S یک رده باشد)، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر $A\in S$ داشته باشیم $A\subseteq C$.

اجتماع همه اعضای S که آن را با $\bigcup S$ یا $\bigcup _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\exists A\in S,x\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، $\bigcup \{A,B\}$ را با $A\cup B$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با $A\cup B\cup C$،... و اجتماع n مجموعه $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ را با $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}=(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n-1})\cup A_{n}$

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی $A\cup B$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع $A\cup B$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با $A\cap B$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

$A\cup A=A$

$A\cup B=B\cup A$

$A\cup \phi =\phi \cup A=A$

$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

جستارهای وابسته

• اشتراک (مجموعه)

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977.

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر