فرمول لایبنیتس برای دترمینان

در جبر، فرمولِ لایبنیتس، دترمینانِ یک ماتریس مربعی $A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده‌است و عبارت است از:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$

برایِ یک ماتریسِ n×n که sgn تابع علامتِ مخصوصِ جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌هایِ S_n است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:

$\det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{A}_{1i_{1}}\cdots {A}_{ni_{n}},$

که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

اثبات

قضیه تنها یک تابع چون

$F:{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K}$

وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ ماتریس همانی برابر است با ۱: $F(I)=1$.

یکتایی: فرض می‌کنیم که $F$ چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم $A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}$ که یک ماتریسِ $n\times n$ است. $A^{j}$ را به عنوانِ $j$ام از ماتریسِ $A$ می‌خوانیم به عنوان مثال $A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}$. بنابراین داریم: $A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).$

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که $E^{k}$ ستونِ $k$ام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ $A^{j}$را بر حسب $E^{k}$ نمایش دهیم:

$A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}$.

از آن‌جا که $F$ خطی است داریم:

${\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}F\left(E^{k_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}\sum _{k_{2}=1}^{n}a_{k_{2}}^{2}F\left(E^{k_{1}},E^{k_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1},k_{2}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{2}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},E^{k_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\cdots \\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}$

از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر $k_{1}=k_{2}$ آن‌گاه:

${\begin{aligned}\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k_{2}},\dots ,E^{k_{1}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=0\end{aligned}}$

As the above sum takes into account all the possible choices of ordered $n$-tuples $\left(k_{1},\dots ,k_{n}\right)$، and because $k_{i_{1}}=k_{i_{2}}$ implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as

$\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).$

Because F is alternating, the columns $E$ can be swapped until it becomes the identity. The sign function $\operatorname {sgn}(\sigma )$ is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:

${\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}$

as $F(I)$ is required to be equal to $1$.

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with $F\left(I\right)=1$.

Existence: We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

Multilinear:

${\begin{aligned}F(A^{0},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{0},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{j}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{0},\dots ,b,\dots )+F(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}$

Alternating:

${\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}$

Now let $\omega$ be the tuple equal to $\sigma$ with the $j_{1}$ and $j_{2}$ indices switched. It follows from the definition of $\operatorname {sgn}$ that $\operatorname {sgn}(\sigma )=-sgn(\omega )$.

${\begin{aligned}\\F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\omega \in {\mathfrak {S}}_{n}}-\operatorname {sgn}(\omega )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\omega (i)}^{i}\right)a_{\omega (j_{1})}^{j_{1}}a_{\omega (j_{2})}^{j_{2}}\\&=-F(\dots ,A^{j_{2}},\dots ,A^{j_{1}},\dots )\\\\\end{aligned}}$

Finally، $F(I)=1$:

${\begin{aligned}\\F(I)&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^{n}I_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}$

Thus the only functions which are multilinear alternating with $F(I)=1$ are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

$\det :{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K}$

with these three properties.

منابع

• "Determinant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Lloyd N. Trefethen and David Bau، Numerical Linear Algebra (SIAM، 1997).