گروه گالوا

در ریاضیات، بخصوص در شاخه‌ای از جبر مجرد به نام نظریه گالوا، گروه گالوا برای نوع خاصی از توسیع‌های میدانی تعریف می‌شود. مطالعهٔ توسیع‌های میدانی و روابطشان با چند جمله‌ای‌هایی که منجر به تولیدشان می‌شود را نظریه گالوا می‌گویند. این اسم به افتخار اواریسته گالوا که ابتدا آن را کشف کرد، نامگذاری شده‌است.

تعریف

فرض کنید $\mathrm {E}$ توسیعی از میدان $\mathrm {F}$ باشد (به صورت $\mathrm {E/F}$ نوشته شده و به صورت " $\mathrm {E}$ بر روی $\mathrm {F}$ " خوانده می‌شود). اتومورفیسم $\mathrm {E/F}$ به صورت اتومورفیسم $\mathrm {E}$ که $\mathrm {F}$ را نقطه وار ثابت نگه می‌دارد تعریف می‌شود. به زبان دیگر، یک اتومورفیسم از $\mathrm {E/F}$ ایزومورفیسمی چون $\alpha$ از $\mathrm {E}$ به $\mathrm {E}$ است چنان‌که برای تمام $\mathrm {x} \in \mathrm {F}$ ‌ها داریم $\alpha \mathrm {(x)=x}$ . مجموعه تمام اتومورفیسم‌های $\mathrm {E/F}$ تشکیل گروهی می‌دهند که عمل دوتایی آن ترکیب توابع است. این گروه را برخی مواقع به صورت $\mathrm {Aut(E/F)}$ می‌نویسند.

اگر $\mathrm {E/F}$ یک توسیع گالوا باشد آنگاه به $\mathrm {Aut(E/F)}$ گروه گالوای (توسیع) $\mathrm {E}$ بر روی $\mathrm {F}$ گویند و اغلب آن را با $\mathrm {Gal(E/F)}$ نمایش می‌دهند.^[۱]

اگر $\mathrm {E/F}$ توسیع گالوا نباشد، آنگاه گروه گالوای (توسیع) $\mathrm {E}$ روی $\mathrm {F}$ را برخی مواقع به صورت $\mathrm {Aut(G/F)}$ تعریف می‌کنند که در آن $\mathrm {G}$ بستار گالوای $\mathrm {E}$ می‌باشد.

مثال‌ها

در مثال‌های پایین $F$ یک میدان است و $\mathbb {C}$ ، $\mathbb {Q}$ ، $\mathbb {R}$ به ترتیب میدان اعداد مختلط، حقیقی و گویا هستند. نماد $F(a)$ بیانگر توسیع میدانیست که از الحاق $a$ به میدان $F$ بدست آمده است.

$Gal(F/F)$ گروه بدیهی تک عضویست، به آن خودریختی همانی گویند.
$Gal(\mathbb {C/R} )$ دو عنصر دارد، خودریختی همانی و خودریختی مزدوج مختلط.^[۲]
$Aut(\mathbb {R/Q} )$ بدیهیست. می توان نشان داد که هر خود ریختی از $\mathbb {R}$ باید ترتیب اعداد حقیقی را حفظ کرده و لذا باید همانی باشد.
$Aut(\mathbb {C/Q} )$ یک گروه بی نهایت عضویست.
$Gal(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ دو عضو دارد، خودریختی همانی و خودریختی که $+{\sqrt {2}}$ و $-{\sqrt {2}}$ را با هم تعویض می کند.
میدان $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ را در نظر بگیرید. گروه $Aut(K/\mathbb {Q} )$ تنها شامل خودریختی همانیست. علتش آن است که $K$ یک توسیع نرمال نبوده، لذا چون دو ریشه سوم مختلط 2 در توسیع وجود ندارد، $K$ یک میدان شکافنده نخواهد بود.
اکنون $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$ را در نظر بگیرید که در آن $\omega$ ریشه سوم واحد است. گروه $Gal(L/\mathbb {Q} )$ یک ریخت با $S_{3}$ است و $L$ در حقیقت میدان شکافنده ی $x^{3}-2$ بر روی $\mathbb {Q}$ می باشد.
اگر $q$ توانی از عددی اول باشد و $F=\mathbf {GF} (q)$ و $E=\mathbf {GF} (q^{n})$ به ترتیب میدان‌های گالوا از مرتبه $q$ و $q^{n}$ باشند، آنگاه $Gal(E/F)$ دوری از مرتبه $n$ بوده و توسط هم‌ریختی فروبنیوس تولید شده است.
اگر $f$ یک چندجمله ای تحویل ناپذیر از درجه $p$ با ضرایب گویا باشد و دقیقا دو ریشه غیر حقیقی داشته باشد، آنگاه گروه گالوای $f$ به صورت گروه تقارنی کامل $S_{p}$ خواهد بود.

یادداشت‌ها

↑ برخی از مؤلفان از $\mathrm {Aut(E/F)}$ به عنوان گروه گالوای توسیع $\mathrm {E/F}$ استفاده کرده و همین نماد را به کار می‌برند، به عنوان مثال (Jacobson 2009).
↑ Cooke, Roger L. (2008), Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.

منابع

Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). Algebra (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Galois Group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲ ژانویه ۲۰۱۹.

[1] برخی از مؤلفان از $\mathrm {Aut(E/F)}$ به عنوان گروه گالوای توسیع $\mathrm {E/F}$ استفاده کرده و همین نماد را به کار می‌برند، به عنوان مثال (Jacobson 2009).

[2] Cooke, Roger L. (2008), Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.

[۱]

[۲]