هم‌افزایی در رگرسیون

به‌طور کلی هم افزایی حالتی است که جمع تأثیر کل اعضا بیشتر از اثر جداگانهٔ هر کدام از آن‌ها می‌باشد.

هم افزایی در علم امار و یادگیری ماشین تأثیر بسیاری در تفسیر مدل‌ها دارد. ^[۱]^[۲]

مسئله قرص لاغری و شربت لاغری

فرض می کنیم که برای کاهش وزن دو روش وجود دارد یکی استفاده از قرص لاغری و دیگری استفاده از شربت لاغری .

حال شما میتوانید برای کاهش وزن از قرص لاغری استفاده کنید و اثری معادل k1 کیلوگرم کاهش وزن در یک ماه داشته باشید و می توانید از شربت لاغری استفاده کنید و کاهش وزنی معادل با k2 کیلوگرم در یک ماه داشته باشید.

حال اگر شما همزمان از هر دو دارو استفاده کنید میتوان به کاهش وزنی بیش از k1+k2 کیلوگرم یا کمتر از آن رسید که این پدیده ناشی از تاثیرات دو قرص بر روی یکدگیر است که می توانند اثر یکدیگر را زیاد تر یا کمتر کنند و قرص لاغری و شربت لاغری بر روی یک دیگر اثر متقابل دارند . ^[۳]

مسئله فروش و تلویزیون و رادیو

فرض کنید ۱۰۰ هزار دلار بودجه در اختیار شرکتی تبلیغاتی می‌گذاریم و آن شرکت می‌تواند این ۱۰۰ هزار دلار را بین تبلیغ در تلویزیون و رادیو تقسیم کند و زمانی که این شرکت بودجه را بین تبلیغ در تلویزیون و رادیو تقسیم می‌کند بیش از زمانی فروش دارد که کل پول را صرف تبلیغ در تلویزیون یا رادیو کند.

در شکل فوق هم افزایی میان تاثیر تلویزیون و رادیو شرح داده شده است.

برای مثال در شکل زیر واضح است اختصاص دادن ۵۰ هزار دلار به تبلیغات تلویزیون و ۵۰ هزار دلار تبلیغ رادیو اثری بیشتر از ۱۰۰ هزار دلار بر هر کدام از این دو دارد و بالاتر (میزان فروش) از ابرصفحهٔ موجود قرار می‌گیرد در حالی که اختصاص دادن ۱۰۰ هزار دلار به هر کدام از تلویزیون یا رادیو پایین‌تر (میزان فروش) از ابرصفحه قرار می‌گیرد.^[۴]

توضیح ریاضی

فرض کنید تأثیر فروش تلویزیون در تبلیغات را با $\beta _{1}$ و میزان فروش ان را با $X_{1}$ نشان دهیم و تأثیر فروش رادیو در تبلیغات را $\beta _{2}$ و میزان فروش ان را با $X_{2}$ و عرض از مبدأ را با $\beta _{0}$ حال میزان متغیر پاسخ ما برابر رابطه زیر می‌باشد:

$Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}$

حال اگر تأثیر میزان فروش رادیو در تلویزیون را در رابطه دخیل کنیم به رابطهٔ زیر می‌رسیم:

$Y=\beta _{0}+\left(\beta _{1}+\beta _{3}X_{2}\right)X_{1}+\beta _{2}X_{2}$

که $\beta _{3}$ میزان تأثیر فروش رادیو بر تلویزیون است. با ساده‌سازی از رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم:

$Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{2}+\beta _{2}X_{2}+\beta _{3}X_{1}X_{2}$

همان‌طور که در رابطهٔ فوق مشهود است متغیری در رابطه وجود دارد که حاصل ضرب میزان فروش تلویزیون و رادیو است که معادل تعریف هم افزایی در امار و یادگیری ماشین می‌باشد.^[۴]

همینطور اگر p-مقدار هر کدام از متغیر های اولیه $X_{1}$ و $X_{2}$ را در ابتدا برسی کنیم عدد پایین تری را نشان می دهد که دال بر تاثیر زیاد هر کدام از آن ها بر روی برازش است .

اما هنگامی که متغیر سوم که معادل $X_{2}$ $X_{1}$ می باشد را به برازش اضافه کنیم و p-مقدار آن را اندازه گیری کنیم .p- مقدار آن به شدت کم خواهد بود و p- مقدار متغیر های $X_{2}$ و $X_{1}$ نسبت به حالت قبل افزایش می یابند و بیشتر می شوند .

منابع

↑ The Synergy Myth: And Other Ailments Of Business Today.
↑ "Synergy". Wikipedia (به انگلیسی). 2023-01-29.
↑ Interactions in Multiple Linear Regression (PDF).
↑ ^۴٫۰ ^۴٫۱ James, Gareth (2021). An introduction to statistical learning : with applications in R (PDF) (به انگلیسی). Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2nd ed.). New York. pp. 79–81. ISBN 978-1-0716-1418-1. OCLC 1262436825. Archived from the original (PDF) on 8 November 2022. Retrieved 28 December 2022.

[1] The Synergy Myth: And Other Ailments Of Business Today.

[2] "Synergy". Wikipedia (به انگلیسی). 2023-01-29.

[3] Interactions in Multiple Linear Regression (PDF).

[:0-4] ۴٫۰ ^۴٫۱ James, Gareth (2021). An introduction to statistical learning : with applications in R (PDF) (به انگلیسی). Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2nd ed.). New York. pp. 79–81. ISBN 978-1-0716-1418-1. OCLC 1262436825. Archived from the original (PDF) on 8 November 2022. Retrieved 28 December 2022.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]