همگرایی متغیرهای تصادفی

دنباله تصادفی زیر را در نظر بگیرید:

همگرایی متغیرهای تصادفی

$X_{1},X_{2},...,X_{n},...$

به ازای هر $\zeta$ (که $\zeta \in \Omega$ نمایانگر یک پیشامد از فضای احتمال $\Omega$ می‌باشد)، $X_{n}(\zeta )$ تبدیل به یک دنباله از اعداد می‌شود که این دنباله عددی، ممکن است همگرا شونده باشد یا نباشد. بر این اساس مفهوم همگرایی در مورد دنباله‌های تصادفی می‌تواند چندین تفسیر متفاوت داشته باشد که در ادامه معرفی می‌شوند:

همگرایی در همه جا

می‌گوییم دنباله تصادفی $X_{n}$ همه جا همگرا می‌شود اگر دنباله اعداد $X_{n}(\zeta )$ برای تمام $\zeta$ها ($\zeta \in \Omega$) همگرا شونده باشد. این دنباله به یک عدد همگرا می‌شود که در حالت کلی وابسته به $\zeta$ می‌باشد. به بیان دیگر حد دنباله تصادفی $X_{n}$ یک متغیر تصادفی $X$ می‌باشد:

$\lim _{n\to \infty }X_{n}=X$

همگرایی در تقریباً همه جا

اگر مجموعه پیشامدهای $\zeta$ به طوری که $\lim _{n\to \infty }X_{n}(\zeta )=X(\zeta )$ وجود داشته باشد و احتمال متناظر با آن برابر ۱ باشد، در این صورت می‌گوییم دنباله $X_{n}$ تقریباً همه جا همگرا می‌شود (یا با احتمال ۱ همگرا می‌شود) و می‌نویسیم:

$P\{\lim _{n\to \infty }X_{n}=X\}=1$

همگرایی در معنای MS (میانگین مربع)

دنباله $X_{n}$ در معنای MS به متغیر تصادفی $X$ میل می‌کند اگر $\lim _{n\to \infty }E\{|X_{n}-X|^{2}\}=0$. یعنی امید مربع فاصله در بی‌نهایت صفر شود. به این حالت حد در میانگین (limit in the mean) گفته می‌شود و غالباً به صورت زیر نوشته می‌شود:

${\text{l.i.m. }}X_{n}=X{\qquad n\to \infty }$

همگرایی در احتمال

احتمال $P\{|X-X_{n}|>\epsilon \}$ مربوط به رویداد $\{|X-X_{n}>\epsilon |\}$ خود یک دنباله عددی است (بر اساس n) که به مقدار $\epsilon$ وابسته است. اگر این دنباله به ازای هر $\epsilon >0$ به $0$ میل کند، یعنی:

$\lim _{n\to \infty }P\{|X-X_{n}|\}=0$

می‌گوییم دنباله تصادفی $X_{n}$ به متغیر تصادفی $X$ در احتمال میل می‌کند. به این حالت همگرایی تصادفی (stochastic convergence) نیز گفته می‌شود.

همگرایی در توزیع

به ترتیب با $F_{n}(x)$ و $F(x)$ توابع توزیع متغیرهای تصادفی $X_{n}$ و $X$ را نمایش می‌دهیم. اگر برای هر نقطه پیوستگی $x$ از $F(x)$ داشته باشیم:

$\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)$

سپس می‌گوییم دنباله $X_{n}$ در توزیع به متغیر تصادفی $X$ میل می‌کند. لازم است ذکر شود که در این حالت ممکن است دنباله $X_{n}(\zeta )$ به ازای هیچ $\zeta$ همگرا نشود.

منابع

• Probability, Random Variables and Stochastic Processes by Papoulis, chapter 7