قضیه تالس (دایره)

این مقاله دربارهٔ قضیهٔ دایره تالس است. برای قضیهٔ تناسب تالس، قضیۀ تالس (تناسب) را ببینید.

قضیه تالس در هندسه این مطلب را بیان می‌کند که اگر A و B و C نقاط روی دایره باشند و خط AC قطر دایره باشد، آن وقت زاویه ABC یک زاویهٔ قائمه خواهد بود. به بیان دیگر مرکز دایره محیطی مثلث روی یکی از اضلاع مثلث قرار می‌گیرد، اگر و تنها اگر آن مثلث قائم‌الزاویه باشد.

تاریخچه

تالس اولین کسی نبود که این قضیه را کشف کرد؛ قبل از او مصریان و بابلیان این قضیه را می‌دانستند ولی تالس آن را اثبات کرد و به نام او نیز معروف شد.

اثبات

اثبات قضیهٔ تالس

فرض کنیم $O$ مرکز دایره باشد. آنگاه $OA=OB=OC$ و $\vartriangle OAB$ و $\vartriangle OBC$ متساوی‌الساقین خواهند بود. در نتیجه ${\widehat {BAO}}={\widehat {ABO}}$ و ${\widehat {OCB}}={\widehat {OBC}}$.

با جابجایی نقطهٔ B روی محیط دایره زاویهٔ B تغییری نمی‌کند و ۹۰ درجه می‌ماند

فرض کنیم $\alpha ={\widehat {ABO}}$ و $\beta ={\widehat {OCB}}$. چون جمع زوایای داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه‌است پس:

${\widehat {OCB}}+{\widehat {ABC}}+{\widehat {BAO}}=2\alpha +2\beta =180^{\circ }\Rightarrow \alpha +\beta =90^{\circ }$

${\widehat {ABC}}=\alpha +\beta =90^{\circ }$

منابع

قضیه تالس | دانشنامهٔ رشد

پیوند به بیرون

اثبات قضیه تالس