قاعده زنجیره‌ای

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای (به انگلیسی: chain rule) یک فرمول است که مشتق ترکیب دو تابع مشتق‌پذیر $f$ و $g$ را به صورت مشتق $f$ و $g$ بیان می‌کند.

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام $u$ باشد، و $u$ نیز خود تابع متغیر سوم $x$ باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر $y$ نسبت به $x$ برابر است با آهنگ تغییر $y$ نسبت به $u$ ضرب در آهنگ تغییر $u$ نسبت به $x$ . به زبان ریاضی:

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}.

اثبات

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها

برای اثبات قاعدهٔ زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا $y=f(x)$ و $x=g(t)$ را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک $\Delta t\not =0$ ، $\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)$ و بصورت متقابل، $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ را محاسبه می‌کنیم. داریم: ${\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطهٔ پایین، یعنی همان قاعدهٔ زنجیره‌ای، دست می‌یابیم. ${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$