در ریاضیات ، سری هندسی به دنباله ای از اعداد می گویند که هر جمله آن، ضرب یک عدد ثابت بنام قدر نسبت در جمله قبلی باشد که در آن جمله اول هر عددی می تواند باشد، در اینصورت مجموع سری یک تصاعد هندسی به صورت زیر تعریف می‌شود:
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
r
0
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,}
در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.
باید توجه کرد که هر سری، خود یک دنباله است و توسط دنباله دیگری بنام دنباله مولد سری مذکور، با قانون خاصی که نوع سری را مشخص می‌کند، به دست می‌آید و نباید سری را با مجموع آن سری اشتباه کرد و این اشتباه درباره سری‌ها بصورت چشمگیری مشاهده می‌شود.
برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }
در سری هندسی اگر
r
<
1
{\displaystyle r\;<1}
سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.
مجموع یک سری هندسی همگرا (
r
<
1
{\displaystyle r<1}
S
n
=
a
1
−
r
.
{\displaystyle S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.}
موقعی که
|
r
|
=
1
{\displaystyle |r|\;=\ 1}
a
+
a
+
a
+
a
+
.
.
.
.
{\displaystyle a+a+a+a+....}
مجموع این سری می‌شود:
S
n
=
(
n
+
1
)
a
{\displaystyle S_{n}=(n+1)a}
و
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
(
n
+
1
)
a
=
±
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(n+1)a=\pm \infty }
(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن
a
{\displaystyle a}
این واگرائی سری را نشان می‌دهد.
اکنون اگر
r
=
−
1
{\displaystyle r\;=\ -1}
a
−
a
+
a
−
a
+
.
.
.
.
{\displaystyle a-a+a-a+....}
بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:
a
,
0
,
a
,
0
,
a
,
.
.
.
{\displaystyle a,0,a,0,a,...}
که واگرا می‌باشد.
حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری
|
r
|
≠
1
{\displaystyle |r|\;\neq \ 1}
مجموع این سری می‌شود:
(١)
S
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
.
.
.
+
a
r
n
{\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n}}
هر دو طرف معادله را با
r
{\displaystyle r}
(٢)
r
S
n
=
a
r
+
a
r
2
+
.
.
.
+
a
r
n
+
a
r
n
+
1
{\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+...+ar^{n}+ar^{n+1}}
(٢) را از (١) کم می‌کنیم:
(٣)
S
n
−
r
S
n
=
a
−
a
r
n
+
1
{\displaystyle S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}}
یا:
(
1
−
r
)
S
n
=
a
−
a
r
n
+
1
{\displaystyle (1-r)S_{n}\;=\;a-ar^{n+1}}
از آنجائی که در وضعیت مورد نظر
|
r
|
≠
1
{\displaystyle |r|\;\neq \ 1}
S
n
=
a
−
a
r
n
+
1
1
−
r
=
a
1
−
r
(
1
−
r
n
+
1
)
{\displaystyle S_{n}\;=\;{\frac {a-ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(1-r^{n+1})}
اگر
r
<
1
{\displaystyle r<1}
l
i
m
n
→
∞
r
n
+
1
=
0
{\displaystyle lim_{n\to \infty }r^{n+1}=0}
lim
n
→
∞
S
n
=
a
1
−
r
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.}
یک سری با قدر نسبت
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }
از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.
