زیرگروه نرمال

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می‌گویند) زیرگروهی است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه $N$ از گروهی چون $G$ در $G$ نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام $g\in G$ و $n\in N$ نتیجه شود $gng^{-}1\in N$. نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال $N\triangleleft G$ است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال $G$ دقیقاً هسته‌های همریختی‌های گروهی با دامنه $G$ اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای طبقه‌بندی چنین همریختی‌هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.

تعاریف

یک زیرگروه $N$ از $G$ را زیرگروه نرمال از $G$ گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از $N$ تحت عنصر دلخواهی از $G$ همیشه در $N$ قرار بگیرد. نمادگذاری این رابطه $N\triangleleft G$ است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه $N$ از $G$، شرایط زیر معادل‌اند با این که $N$ زیر گروه نرمالی از $G$ باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

• تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) $N$ تحت هر عنصر $G$ زیرمجموعه‌ای از $N$ باشد.
• تصویر تزویجی $N$ تحت هر عنصر $G$ برابر $N$ باشد.
• برای تمام $g\in G$، همدسته‌های چپ و راست $gN$ و $Ng$ برابر باشند.
• همدسته‌های چپ و راست $N$ در $G$ با هم یکی شوند.
• ضرب یک عنصر از همدسته چپ $N$ نسبت به $g$ و یک عنصر از همدسته چپ $N$ نسبت به $h$، عنصری از همدسته چپ $N$ نسبت به $gh$ باشد: یعنی اگر $\forall x,y,g,h\in G$ از $x\in gN$ و $y\in hN$ نتیجه شود که $xy\in (gh)N$.
• $N$ برابر اجتماع رده‌های تزویجی $G$ باشد.
• $N$ تحت درون‌ریختی‌های داخلی از $G$ حفظ شود.
• همریختی گروهی چون $G\rightarrow H$ وجود دارد چنان که هسته آن $N$ باشد.
• برای تمام $n\in N$ و $g\in G$، جابجاگر $[n,g]=n^{-1}g^{-1}ng$ در $N$ باشد.
• هر دو عنصر گروه $G$ در رابطه زیر صدق کنند:

$\forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N$

منابع

• Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
• Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
• Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
• Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
• Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
• Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
• Thurston, William (1997). Levy, Silvio (ed.). Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
• Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Norma Subgroup». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "normal subgroup". MathWorld.
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?