جوین و میت

روابط دوتایی ترایا
متقارن پادمتقارن کانکس خوش-بنیان $\vee$ دارد $\wedge$ دارد بازتابی غیربازتابی نامتقارن رابطه هم‌ارزی ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش‌ترتییب (شبه‌ترتیب) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ترتیب جزئی ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش-ترتیب کلی ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ترتیب کلی ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش-خوش‌ترتیب ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ خوش-شبه-ترتیب ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ خوش‌ترتیب ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ جوین-نیم-مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ میت-نیم-مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ جزئی‌مرتب قطعی ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ مجوعه ضعیف‌مرتب ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ترتیب کلی قطعی ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ تعاریف: برای تمام $a$ و $b$ ها و $S\neq \varnothing$ : ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
علامت "✓" نشان‌دهنده آن است که ویژگی ستونی در تعریف آن سطر لازم است. برای مثال تعریف رابطه هم‌ارزی لازم دارد تا متقارن باشد. به صورت ضمنی همه این تعاریف ترایا و بازتابی می‌باشند. علامت "✗" نشان‌دهنده آن است که ویژگی به طور کلی تضمین نمی‌شود (می‌تواند برقرار باشد، یا نباشد). تمام روابط بالا مستلزم آن است که رابطه همگون $R$ ترایا باشد: برای تمام $a$ و $b$ و $c$ ها، اگر $aRb$ و $bRc$ آنگاه $aRc$.

در ریاضیات، بخصوص در نظریه ترتیب، جوین (به انگلیسی: Join)، یک زیر مجموعه $S$ از یک مجموعه پوست (مجموعه جزئاً مرتب یا POSET) $P$، برابر سوپریمم (کوچکترین کران بالایی) زیر مجموعه $S$ است و آن را با $\vee S$ نمایش می دهند. به طور مشابه، "میت" (به انگلیسی: Meet) زیرمجموعه $S$، به صورت $\wedge S$ نمایش داده شده که همان اینفیمم (بزرگترین کران پایین) آن مجموعه است. $\vee$ و $\wedge$ یک زیرمجموعه از مجموعه جزئاً مرتب لزوماً موجود نیستند. $\vee$ و $\wedge$ دوگان یکدیگر اند.

این نمودار هسه یک مجموعه مرتب جزئی را با چهار عنصر $\mathbf {a}$ و $\mathbf {b}$ و عنصر ماکسیمال آنها $\left(\mathbf {a} \vee \mathbf {b} \right)$ و عنصر مینیمالشان $\left(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right)$

مجموعه جزئاً مرتبی که تمام زوج اعضاء در آن دارای $\vee$ باشند را جوین-نیم-مشبکه گویند. دوگان آن میت-نیم-مشبکه است که برای تمام زوج اعضاء آن $\wedge$ موجود است. یک مجموعه جزئاً مرتبی که هم جوین-نیم-مشبکه باشد و هم میت-نیم-مشبکه باشد را مشبکه گویند. مشبکه ای که در آن هر زیرمجموعه، و نه فقط هر جفت از اعضاء در آن دارای میت و جوین باشد را مشبکه کامل نامند. همچنین می توان مشبکه جزئی را تعریف کرد که در آن تمام زوج اعضاء لزوماً میت و جوین ندارند اما عملیاتی که در آن تعریف می شود باید در اصول موضوعه هایی صدق کنند.

منابع

• Davey, B.A.; Priestley, H.A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4. Zbl 1002.06001.
• Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. Vol. 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Join and Meet». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.