تصاعد حسابی

در ریاضیات دنباله حسابی یا تصاعد حسابی (به انگلیسی: arithmetic progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً $d$ باشد. به عدد ثابت $d$ قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک دنباله حسابی $a_{1}$ و قدر نسبت آن $d$ باشد آنگاه جملهٔ $i$ ام این تصاعد برابر خواهد بود با

a_{i}=a_{1}+(i-1)d

.

در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های $n$ ام و $m$ ام خواهد بود:

a_{n}=a_{m}+(n-m)d

مقدار $d$ می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن $d$ ، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می آید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه یک

تشخیص دنباله حسابی

برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

$a_{4}-a_{3}=a_{3}-a_{2}$

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

مثال: آیا دنباله زیر حسابی است؟

$10,7.5,5,2.5,...$

جواب

$a_{4}-a_{3}=2.5-5=-2.5$

$a_{3}-a_{2}=5-7.5=-2.5$

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

واسطه حسابی

اگر $a,b,c$ سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

$b={\frac {a+c}{2}}$

مثال: $x$ را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

$4x-1,x+2,2-x$

حل:

$x+2={\frac {4x-1+2-x}{2}}$

$x=3$

مجموع

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:

S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)

S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).

در نتیجه:

S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.

برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

S_{50}={\frac {50}{2}}[2(3)+(49)(5)]=6,275.

ضرب

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی $a_{1}$ نام دارد و قدر نسبت تصاعد $d$ است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},

که در آن $x^{\overline {n}}$ نماد افزایش فاکتوریل و $\Gamma$ نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای $a_{1}/d$ کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب $1\times 2\times \cdots \times n$ است که آن را با $n!$ فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه $m$ باشد:

m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!

در صورتی که $m$ و $n$ اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

{\frac {n!}{(m-1)!}}.

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با: