آرگومان (آنالیز مختلط)

در ریاضیات، آرگومان یک تابع چند مقداری است که بر روی اعداد مختلط غیر صفر کار می کند. مثلاً عدد مختلط z را که در صفحه مشخص شده در نظر بگیرید، آرگومان z زاویه ای بین محور حقیقی مثبت و خط واصل نقطه z به نقطه مبدأ می‌باشد که در شکل 1 با φ نشان داده شده است و با arg z مشخص می گردد. برای تعریف به صورت یک تابع تک مقداری، از مقدار اصلی آرگومان (که گاهی با Arg z آن را نمایش می دهند) استفاده می شود. این امر صورت گرفته تا یک مقدار منحصر به فرد (فقط آن مقداری که در بازه $-\pi$ تا $\pi$ است) به عنوان خروجی تابع آرگومان مشخص گردد.

شکل 1. این صفحه مختلط یک عدد مختلط را روی صفحه مشخص می کند. برای هر نقطه از صفحه ، arg تابعی است که زاویه φ را برمی گرداند.

تعریف در دستگاه مختصات قطبی

از نظر هندسی، در دستگاه مختصات قطبی ، $\phi$ زاویه از محور حقیقی مثبت تا بردار مشخصه z است. مقدار عددی زاویه در واحد رادیان بیان می شود و اگر در جهت خلاف حرکت عقربه های ساعت اندازه گیری شود مثبت است. از نظر جبری ، به ازای هر مقدار حقیقی φ داریم:

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }$

برای مقادیر مثبت r ( با توجه به فرمول اویلر ) مقدار r برابر قدر مطلق z ، با علامت | z | است:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$